2023-10-12

From Relativistic Energy to Momentum

Jackson 经典电动力学 Section 11.5 里面通过洛仑兹变换后取小角散射得到其表达式。 我发现把式子变变形，也能便捷地 从 $E = \gamma m c^2$ 得到 $\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}$.

$$\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} \cdot d\mathbf{r} = dE$$

$$\implies \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p} = d \gamma m c^2$$

$$\implies \mathbf{v} \cdot d \left( \mathbf{p} - \gamma m \mathbf{v} \right) = 0$$

设 $\mathbf{p} = M(v) \mathbf{v}$ 且 $M(v)$ 单增 $$\mathbf{v} \cdot d \left[ (M(v)-\gamma m) \mathbf{v} \right] = 0$$ 设 $f(v) = M(v)-\gamma m$ $$\mathbf{v} \cdot d \left[ f(v) \mathbf{v} \right] = 0$$

$$f(v) \mathbf{v} \cdot d \left[ f(v) \mathbf{v} \right] = 0$$

$$d \left[ f(v) \mathbf{v} \right]^2 = 0$$

$$f(v) = \frac{const}{v}$$ 当 $v=0$ 时，$p=0$， 所以 $const = 0$。 由此可知 $M(v) = \gamma m + \frac{const}{v}$ 单增且 速度方向和动量方向同向 $M(v)>0$