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Proof of Matrix Trace Logarithmic Equation -- A Famous Equation in Group Theory

定理： 对于可逆矩阵 $M$，有： $$ \operatorname{} \operatorname{Tr}(\ln M) = \ln |M|. $$ 也就是，对于可逆矩阵 $M$ 来说, $M$ 行列式的对数，等于 $M$ 对数的迹。

证明：

  1. 首先，任意可逆矩阵 $M$ 可以相似对角化（为简单起见，我们先考虑可对角化的情况）：

$$ M = V\Lambda V^{-1} $$

其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，其对角元素为 $M$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_n$

  1. 利用[[矩阵对数的性质]]：

$$ \ln M = \ln(V\Lambda V^{-1}) = V\ln(\Lambda)V^{-1} $$

  1. 对角矩阵 $\Lambda$ 的对数是一个新的对角矩阵，其对角元素是原对角元素的对数：
$$\ln(\Lambda) = \begin{pmatrix} \ln(\lambda_1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ln(\lambda_2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ln(\lambda_n) \end{pmatrix}$$
  1. 利用[[迹的循环性质]]：

$$ \operatorname{Tr}(\ln M) = \operatorname{Tr}(V\ln(\Lambda)V^{-1}) = \operatorname{Tr}(\ln(\Lambda)) $$

  1. 因此：

$$ \operatorname{Tr}(\ln M) = \sum_{i=1}^n \ln(\lambda_i) = \ln\left(\prod_{i=1}^n \lambda_i\right) $$

  1. 注意到矩阵的行列式等于其特征值的乘积：

$$ |M| = \prod_{i=1}^n \lambda_i $$

  1. 最后得到：

$$ \operatorname{Tr}(\ln M) = \ln\left(\prod_{i=1}^n \lambda_i\right) = \ln |M| $$

补充说明：

  • 对于不可对角化的矩阵，可以使用 Jordan 标准型进行类似的证明
  • 这个等式要求矩阵 $M$ 的特征值都不为零（这也是为什么要求 $M$ 可逆）